II. Тензоры. 2.3. Свойства симметричного тензора II валентности

Действительно,

Симметричные тензоры допускают некоторую геометрическую интерпретацию. Начнем с того, что вектор a можно представить не только направленным отрезком, но и плоскостью

где r – радиус-вектор произвольной точки, принадлежащей этой плоскости. Это ясно из того, что

длина r_a – векторной проекции радиус-вектора r на вектор a равна 1/a; все векторы r – r_a перпендикулярны вектору a, т. к. равно нулю их скалярное произведение с a; таким образом, все векторы r – r_a принадлежат плоскости, перпендикулярной вектору a и проходящей через конец вектора r_a. На прямой, проходящей через начало координат и имеющей направление вектора a, плоскость, определяемая уравнением (28), отсекает отрезок длины r = 1/a.

Аналогичное рассмотрение проведем для симметричного тензора S. Рассмотрим поверхность, определяемую уравнением

где r – радиус-вектор произвольной точки, принадлежащей этой поверхности. Распишем это уравнение в координатах:

(32)

Найдем точки пересечения этой поверхности с координатными осями. На оси OX₁ x₂ = x₃ = 0, так что из формулы (32) получаем

(33)

Если S_11< 0, в формулах (31) и (32) правую часть следует приравнять – 1, тогда под корнем выражения (33) будет положительная величина – S₁₁. К аналогичным результатам придем для других координатных осей, поскольку на оси OX₂ x₃ = x₁ = 0, и на оси OX₃ x₁ = x₂ = 0:

(34)

Если S₁₁, S₂₂ и S₃₃ имеют одинаковый знак – случай, весьма важный для приложений, – поверхность (31) будет поверхностью эллипсоида. Она и является геометрическим образом симметричного тензора второй валентности в пространстве трех измерений, подобно тому как плоскость дает геометрический образ тензора валентности 1, т. е. вектора. Поэтому уравнение (32) называется уравнением тензорного эллипсоида, хотя оно может описывать и другие поверхности второго порядка.

При преобразованиях координат компоненты тензора изменяются по формулам (8), однако сам эллипсоид от выбора системы координат не зависит. Пусть имеется некоторая штрихованная система координат. В ней расстояние от начала координат до точки M поверхности тензорного эллипсоида, пересекаемой осью X¢ , равно в соответствии с формулой (33)

В нештрихованной системе это же расстояние с учетом формулы (8) представится в виде

Другими словами, r есть расстояние от начала координат то поверхности тензорного эллипсоида в направлении, задаваемом направляющими косинусами a_{1¢ 1}, a_{2¢ 1}, a_{3¢ 1}.

Простое геометрическое значение имеет S × r: если точка M c радиус-вектором r принадлежит поверхности, описываемой уравнением (31), то вектор

имеет направление нормали к плоскости, касательной к поверхности в точке M. Чтобы убедиться в этом, сместим точку M на dr так, чтобы она оставалась на поверхности.

Ее новым радиус-вектором будет r + dr. Очевидно, dr лежит в плоскости, касательной к поверхности в точке M. Радиус-вектор нового положения точки M также удовлетворяет уравнению (31):

Первое слагаемое равно единице по формуле (31), а второе и третье равны между собой благодаря симметричности S согласно соотношению (28). Отсюда получаем

т. е. вектор b = S × r перпендикулярен любому dr, лежащему в касательной к поверхности в точке M плоскости, а значит, он перпендикулярен самой касательной плоскости, что и требовалось доказать.

Как известно из аналитической геометрии, существует такая система прямоугольных декартовых координат, в которой уравнение поверхности второго порядка (если отличны от нуля S₁₁, S₂₂ и S₃₃) принимает вид

(36)

(случай конической поверхности не рассматриваем, считаем также, что l_1¢ , l_2¢ и l_3¢ имеют одинаковый знак). В этой системе координат недиагональные компоненты тензора равны нулю, и полуоси эллипсоида параллельны координатным осям, которые являются главными осями тензора. Матрица, соответствующая тензору S, в этой системе имеет диагональный вид (штрихи опускаем):

(37)

Величины l₁, l₂ и l₃ называются главными значениями тензора. Случаю, когда два из них равны друг другу, отвечает эллипсоид вращения, а если они все равны друг другу, тензорный эллипсоид превращается в сферу. В частности, единичному тензору соответствует сфера единичного радиуса:

Из следующего рисунка видно, что на поверхности тензорного эллипсоида существуют такие точки, радиус-вектор которых направлен по нормали к поверхности, так что определяемый соотношением (35) вектор b оказывается коллинеарным вектору r:

где l – соответствующее главное значение тензора. Через эти точки проходят главные оси тензора. Действительно, в системе главных осей тензора

отсюда видно, что b = l₁r, когда r лежит на оси X₁, и аналогично b = l₂r, когда r лежит на оси X₂ и b = l₃r, когда r лежит на оси X₃.

Если левую и правую части соотношения (35) умножить на произвольный скаляр, то вместо радиус-вектора r получим некоторый вектор a, и формулы (35) и (38) приведут к следующему соотношению:

Равенство (39) справедливо в любой системе координат, если вектор a параллелен одной из главных осей тензора. Это обстоятельство можно использовать для нахождения главных значений и главных направлений тензора.

Распишем соотношение (39) в виде системы уравнений относительно неизвестных компонент вектора a:

Для того чтобы эта система имела нетривиальное (ненулевое) решение, необходимо, как известно из курса алгебры, чтобы определитель, составленный из ее коэффициентов, был равен нулю:

(41)

Соотношение (41) представляет собой кубическое уравнение относительно l. Три его корня представляют собой главные значения тензора l₁, l₂ и l₃. Подставив одно из найденных значений l в систему (40), из первых двух уравнений (третье является линейно зависимым от первых двух) находим соотношение между компонентами вектора a:

(42)

Эти соотношения задают орт вектора a и, следовательно, направление одной из главных осей тензора:

(43)

Оставшиеся два значения таким же образом позволяют найти направления двух других главных осей тензора S.

Скалярное умножение тензора и вектора с позиций алгебры является линейным преобразованием евклидова пространства, а вектор a, удовлетворяющий соотношению (39), называется собственным вектором. В случае симметричного тензора линейное преобразование является симметрическим. Из курса алгебры известна

Докажем ее применительно к симметричному тензору второй валентности. Перепишем соотношение (39) для двух различных собственных векторов a₁ и a₂ (и соответственно собственных значений l₁иl₂):

Воспользуемся соотношением (28) для векторов a₁ и b₂:

После сокращения крайних частей этих равенств на l₂ получаем

поскольку l_{1 ¹} l₂, отсюда приходим к ортогональности собственных векторов a₁ и a₂. Аналогично доказывается ортогональность третьего собственного вектора a₃ векторам a₁ и a₂.

Согласно формуле (44) собственные векторы a₂ и a₃ перпендикулярны вектору a₁. Поэтому если направить ось X₁ по вектору a₁, проекции векторов a₂ и a₃ на эту ось будут равны нулю, и из системы (40) для a₁ получим

Для собственного вектора a₂ или a₃ первое уравнение тождественно обращается в нуль, так что остаются два уравнения

или

откуда находим

(47)

при условии что

Возможен случай, когда в выбранной системе координат S₂₂ = l, S₃₃ = l и S₂₃ = 0 (и остаются равенства S₂₁ = S₁₂ = 0; S₃₁ = S₁₃ = 0). При этом тензор S принимает диагональный вид

Это означает, что уравнение (41) имеет кратные корни: l₂ = l₃ = l и l_{1 ¹} l. Поворот системы координат вокруг оси X₁ оставляет вид тензора S неизменным: по формулам (8) и (I.24) получаем

Следовательно, при двух кратных корнях (l₂ = l₃ = l и l₁¹ l) тензорный эллипсоид будет эллипсоидом вращения. При этом однозначно по формулам (43) определяется только один собственный вектор a₁ и соответственно одна главная ось, совпадающая с осью симметрии эллипсоида. В качестве других главных осей можно взять две любые взаимно перпендикулярные оси, перпендикулярные оси симметрии эллипсоида.

Если же все три корня уравнения (41) одинаковы (l₂ = l₃ = l и l₁ = l), тензорный эллипсоид вырождается в сферу, и в качестве главных осей можно взять три любые взаимно перпендикулярные оси.