ПИРАМИДЫ

11) Нарисуйте различные по форме сечения треугольной и четырехугольной пирамид.

12) Древние египетские пирамиды были ступенчатыми – они представляли собой поставленные друг на друга параллелепипеды или усеченные четырехугольные пирамиды. Нарисуйте осевые сечения такой пирамиды, а также ее проекцию на плоскость основания.

13) Докажите, что в правильной треугольной пирамиде противоположные ребра взаимно перпендикулярны.

14) В правильной шестиугольной пирамиде высота равна стороне основания. Докажите, что каждое из боковых ребер перпендикулярно двум диагоналям основания и одному из боковых ребер.

15) В основании треугольной пирамиды с равными боковыми ребрами лежит прямоугольный треугольник. Докажите, что одна из боковых граней пирамиды перпендикулярна основанию.

16) Вне правильного тетраэдра на его гранях построены правильные пирамиды с прямыми плоскими углами. Докажите, что вместе они образуют куб.

17) В правильной пирамиде ABCD все ребра равны а. Вычислите:

18) В пирамиде сторона основания равна а, площадь основания – S. Высоту пирамиды разделили на три равные части и через точки деления провели плоскости, параллельные основанию. Вычислите стороны и площади оснований получившихся пирамид.

19) В основании треугольной пирамиды лежит правильный треугольник со стороной а. Одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания, а два других наклонены к нему под углом а. Вычислите площадь наклонной боковой грани и косинус ее угла наклона к плоскости основания.

20) Высота правильной усеченной четырехугольной пирамиды равна 7 см, стороны оснований – 10 и 2 см. Найдите:

21) Чему равна сумма всех плоских углов треугольной пирамиды (то есть всех углов треугольников, являющихся гранями пирамиды)?

22) На гранях правильного тетраэдра во внешнюю сторону построены такие же правильные тетраэдры. Их вершины также образуют правильный тетраэдр (проверьте это). Во сколько раз ребро нового тетраэдра больше ребра исходного?

23) Выясните, бывает или не бывает: