3.5. Оператор Гамильтона

Общая формула Гаусса–Остроградского

Докажем сначала следующую формулу:

(110)

или в компонентах

(111)

Для этого положим в формуле (95) a=cj, где cпостоянный вектор, и учтем, что

формула Гаусса–Остроградского (95) примет вид

Ввиду произвольности ориентации вектора отсюда приходим к формуле (110).

Очевидно, если соотношение (111) имеет место для скалярной функции j, оно справедливо и для каждой из компонент некоторого вектора a:

(112)

и, следовательно, и для самого вектора a (достаточно умножить выражения (112) для каждой компоненты на соответствующий орт и сложить):

(113)

Рассмотрим линейный оператор L(Ñ ), определяемый следующим образом. L(a) есть линейное относительно вектора a выражение:

L(a+b)=L(a)+L(b); L(la)=lL(a),

где a и bпроизвольные векторы, lчисло. Это выражение в общем случае может включать в себя сложение, умножение на число, дифференцирование, интегрирование, причем условимся, что оператор Ñ действует на функции, расположенные только справа от него: AL(Ñ )B+C действует на B и не действует на A и C.

Докажем следующую общую формулу Гаусса–Остроградского:

(114)

Воспользуемся сначала свойством линейности оператора L(Ñ):

как слева, так и справа мы имеем линейный оператор, действие которого распространяется на функции, записанные справа от него. Выражение (114) примет вид

(115)

Выражение L(ei) является либо вектором, либо скаляром. В первом случае можно воспользоваться формулой (113), во втором–формулой (111); в любом случае получим в силу линейности оператора L

что и требовалось доказать.

Инвариантное определение линейного оператора L

Пусть Vмалый объем, который мы стягиваем в точку M. Ввиду малости этого объема значения результата действия оператора L(Ñ ) на скалярную или векторную функцию в разных точках объема V мало отличаются от того же в точке M: L(Ñ )=(L(Ñ ))M+e, где eмалая величина. Поэтому

где hтоже малая величина. Разделив левую и правую части на V и устремив V к нулю, в результате чего к нулю устремится и h, в пределе получим

(116)

Полученная формула не привязана ни к какой системе координат и может быть использована, в частности, с криволинейными координатами (цилиндрическими, сферическими и пр.).

Практическое правило применения оператора Гамильтона

На примере действия оператора Гамильтона на произведение скалярной и векторной функций выработаем простое правило применения оператора Гамильтона:

(117)

по правилу дифференцирования произведения дифференцируем первый сомножитель, считая остальные постоянными, к результату добавляем произведение, в котором дифференцируется только второй сомножитель, тогда как остальные принимаются постоянными, и т. д. Условно это обозначается двумя способами, приемлемыми только для промежуточных выкладок:

здесь индекс “c” означает, что данный сомножитель принимается постоянным.

здесь индексы “a” и “jозначают, что оператор действует только на тот или иной сомножитель.

Другой пример: (Ñ × v)aздесь скобки не ограничивают действие оператора Гамильтона, он действует на оба сомножителя, расположенных справа от него;

Следующая распространенная формула векторного анализа:

div(a ´ b) = Ña(a ´ b) – Ñb (b ´ a) = b(Ña ´ a) – a (Ñb ´ b) = b rot aa rot b.

(118)

Еще одна важная формула:

grad(a × b) = a (Ñ b) + b (Ñ a) + a ´ rot b + b ´ rot a

(119)

Для доказательства преобразуем двойные векторные произведения правой части:

a ´ rot b = a ´ (Ñb ´ b) = Ñb(a b) - (aÑb)b;

здесь использована формула “бац” минус “цаб” в такой форме, чтобы оператор Гамильтона всегда оставался слева от функции, на которую он действует. Аналогично

b ´ rot a = b ´ (Ña ´ a) = Ña(b a) - (bÑa)a;

Складывая последние два выражения, находим

a´ rot b + b ´ rot a = Ñb(ab) + Ña(ba) - (aÑb)b - (bÑa)a;

первые два слагаемых правой части дают grad(a × b), и мы приходим к левой части формулы (119).

Операторы grad, div, rot, (v ×Ñ) являются дифференциальными операторами первого порядка

Дифференциальный оператор второго порядка

Рассмотрим теперь основные дифференциальные операции второго порядка. Т. к. gradj и rota являются векторами, к ним применимы операции div и rot; к скалярной функции diva применим оператор grad:

div gradj = Ñ×(Ñj) = Ñ2j = Dj. (120)
rot gradj º0. (104)

div rot a º 0.

(106)
rot rot a = Ñ´(Ñ´a) =Ñ×(Ña)–Ñ2a=Ñ×(Ña)–Da0.(121)
grad div a.

Первым равенством определяется оператор Лапласа, называемый коротко лапласианом:

(122)

Второе и третье тождества нами были установлены ранее. Выражение rotrota раскрыто по формуле “бац” минус “цаб” в форме

a ´ ( b ´ c) = b(a×c) – (a×b)c;

удовлетворяющей требованию, чтобы функция оставалась справа от операторов дифференцирования. Строгий вывод формулы (121) может быть выполнен с применением кососимметричного символа Кронекера

или

(123)

Последнее слагаемое выражения (121) дает лапласиан от векторной функции:

(124)

Наконец, пятая формула представляет собой первое слагаемое правой части формулы (123), отличное от лапласиана вектора a. Это очевидно, например, в случае соленоидального поля, дивергенция которого равна нулю.