Ротор вектора

Последним соотношением определяется векторное поле, называемое ротором вектора A.

Рассмотрим произвольную точку М в векторном поле и произвольную малую площадку S, ограниченную контуром L, на которой лежит точка M. Выберем произвольно направление обхода L и восстановим положительную нормаль n к площадке S в соответствии с п. 1.2. Ротором вектора a называется вектор (псевдовектор), проекция которого на направление вектора n равна пределу отношения

(99)

где обозначение L ® P, подразумевает, что в процессе предельного перехода контур L стягивается в точку P. Ротор вектора в отечественной литературе еще называют вихрем вектора. В англоязычной литературе вместо rot a нередко используется обозначение curl a.

Смысл его наиболее наглядно проявляется применительно к вектору скорости вращающегося твердого тела: v = w ´ r; рассмотрим круговой контур L малого радиуса R, плоскость которого перпендикулярна вектору w, а центр лежит в произвольной точке с радиус-вектором r0. В этом случае S = pR2; r = r0 + R. Выберем направление обхода контура так, чтобы соответствующее ему направление положительной нормали к S было направлено по вектору w. Тогда

в первом интеграле правой части за знак интеграла вынесено не зависящее от координат контура L векторное произведение, а интеграл вдоль замкнутого контура по вектору dl равен нулю. Во втором интеграле R ^ w; кроме того, векторное произведение в каждой точке контура L направлено по вектору dl, поэтому

вынося за знак интеграла постоянный множитель wR и учитывая, что оставшийся интеграл дает просто длину окружности 2pR, получим rot v = 2w, ротор линейной скорости точек вращающегося твердого тела равен удвоенной угловой скорости.

Формула Стокса

Рассмотрим произвольную кусочно-гладкую поверхность S в поле вектора a, ограниченную контуром L (не обязательно плоским). Произвольно зададим на контуре L направление обхода, которое определит направления положительных нормалей к поверхности S. Выберем малое число e; разобьем поверхность S на N столь малых элементов DSk, в сумме составляющих S, что для каждого из них, используя определение ротора (99), можно записать

Рассмотрим произвольную кусочно-гладкую поверхность S в поле вектора a, ограниченную контуром L (не обязательно плоским). Произвольно зададим на контуре L направление обхода, которое определит направления положительных нормалей к поверхности S. Выберем малое число e; разобьем поверхность S на N столь малых элементов DS_k, в сумме составляющих S, что для каждого из них, используя определение ротора (99), можно записать

где L_k – контур, ограничивающий DS_k, а значение rota относится к некоторой точке элемента поверхности DS_k. Направления обхода каждого из L_k соответствуют направлению положительной нормали к S на DS_k согласно п. 1.2. Сложим эти выражения для всех элементов поверхности DS_k, предварительно умножив их на DS_k:

(100)

Здесь учтено, что линейные интегралы, взятые вдоль границ смежных элементов DS_k, взаимно сокращаются, так проходятся дважды в противоположных направлениях–один раз в контуре L_k, другой раз в смежном контуре L_k+1. вследствие противоположной ориентации смежных контуров. Нескомпенсированными останутся только линейные интегралы, взятые вдоль границ элементов DS_k, совпадающих с участками контура L. Эти величины дадут в совокупности циркуляцию вектора a по всему контуру L. Входящая в левую сторону равенства интегральная сумма в пределе при N ® ¥ при max(DS_k) ® 0 представляет собой поверхностный интеграл от rot a:

Так как e мы можем взять сколь угодно малым, неравенство (100) приводит к соотношению

(101)

Мы по-прежнему предполагали, что однозначная функция a(r) непрерывна и имеет непрерывные частные производные в некоторой области, в которой лежит поверхность S.

Ротор вектора в декартовых координатах

Выражение для проекции ротора на одну из координатных осей, например, ось Z, в декартовой системе координат нетрудно определить, выбрав малую площадку S в виде прямоугольника со сторонами, параллельными другим координатным осям. Пусть координаты точки P – центра этой площадки–равны x₀, y₀, z₀, а длины сторон соответственно Dx и Dy. Первоначально вычисляем линейные интегралы вектора a вдоль двух сторон, параллельных оси X. Координаты точек этих сторон: x, y₀ ± Dy/2,  z₀. Направление обхода контура L в правой системе–против часовой стрелки. В этом случае вектором нормали к площадке будет служить орт e₃. Поскольку

где O(Dy)–функция Dy, стремящаяся к нулю, сумма линейных интегралов по этим сторонам равна

Первый интеграл обращается в нуль тождественно, второй, имея более высокий порядок малости, чем третий, после деления на S = DxDy устремится к нулю при стягивании S в точку. Используя теорему о среднем, находим в первом приближении

где производная ¶a_x/¶y взята в некоторой точке (x₁, y₀, z₀) такой, что: x - Dx /2< x₁<x + Dx/2. Аналогично для двух других сторон:

где производная ¶a_y/¶x взята в некоторой точке (x₀, y₁ў, z₀) такой, что y - Dy/2< y₁ў<y + Dy/2. Итак, циркуляция вектора a вдоль выбранного контура L– прямоугольника со сторонами Dx и Dy равна

Подставляя в формулу (99), сокращая на S и переходя к пределу S® P, получаем

Аналогично находятся проекции ротора вектора a на другие координатные оси. В итоге получим

(102)

Если a – потенциальный вектор, т. е. a = gradj, то, как мы знаем, линейный интеграл по всякому замкнутому контуру в односвязном пространстве равен нулю:

следовательно, rot a = 0:

поскольку единичный антисимметричный псевдотензор третьей валентности e_ijk умножается на симметричный тензор второй валентности ¶²j/(¶x_j¶x_k), по индексам которого производится свертывание.

Обратно, если в некоторой области пространства rot a º 0, по формуле Стокса (101) для любого замкнутого контура этой области получаем

откуда следует потенциальность вектора a в указанной области пространства, т. е. возможность представления вектора a вформе a = gradj. Таким образом, если

Необходимое и достаточное условие того, a чтобы был потенциальным вектором и чтобы выражение

a1dx1+a2dx2+a3dx3

было полным дифференциалом, состоит в тождественном равенстве ротора вектора a нулю.

Потенциальное поле называют также поэтому безвихревым.

Очевидно также, что

(105)

т. к. контур L, по которому ведется интегрирование в левой части формулы Стокса (101), в этом случае стягивается в точку, и значение интеграла по такому контуру при ограниченной подынтегральной функции оказывается равным нулю. Обратившись к инвариантному определению дивергенции (89),

мы сразу получаем, что

div rot a º 0.

(106)

Следовательно, векторное поле вихрей (роторов) любого вектора a свободно от источников, т. е. соленоидально.

Обратная теорема. Всякий соленоидальный вектор a может быть представлен как ротор некоторого другого вектора b: a = rot b.

Иными словами, если div a º 0, то можно найти такой вектор b, что

a = rot b.

(107)

Для доказательства выберем такую систему декартовых координат, в которой b_z=0. Тогда выражение (107) в компонентах примет вид:

ax = -¶by/¶z; ay = ¶bx/¶z; az = ¶bx/¶y - ¶by/¶x,
	(108)

первые два уравнения можно переписать в виде

где f(x,y) и g(x,y)–произвольные функции, не зависящие от z. Из этих соотношений находим

выразив отсюда b_x и b_y и подставив в третье из уравнений (108), получим

изменив порядок дифференцирования и интегрирования и объединив интегралы, получим

(109)

теперь учитывая, что

выразив первые две производные через последнюю, можем выполнить интегрирование:

следовательно, уравнение (109) приводится к виду

этому уравнению нетрудно удовлетворить, если положить

Итак, если в качестве b выбрать вектор с компонентами

что, очевидно, возможно для любого векторного поля a, равенство (107) a = rot b будет удовлетворено, что и требовалось доказать.